citrussinのチラシの裏

ゲームや読書感想、日々のことを適当につづる日記。TwitterID @sinensis197

受験、テスト向けに中学、高校で知っておくといい大学数学 倍数判定、合同式(mod)編 

こんなところにやってきた奇特なみなさんこんにちわ
大学生になり、大学数学を学んでいるとふと思います。

教えてくれよ:mod

ということで、今年受験な方、早く検算したい方向け知っておいた方がいい、数学知識を紹介したいと思います。

※2015年から高校で正式に習うらしいですね合同式。失礼しました。せっかく記事書いたので残します。

お題はこれ
倍数の判定法とmod


目次

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倍数の判定法ってなーに?

倍数判定法とは、ある数が何の数で割りきれるかを判別する方法です。(ちなみに無理数は含みませんよ高校2年生の方)
例えば72819405は絶対に3,5,9で割りきれます。こういう一瞬で割れる数を求める方法のことです。
だれでも知っているのは、5の倍数は一桁目が5か0。10の倍数は一桁目が0ということでしょう。
72819405っていう数でも、一桁目が5なので、5で割れますよねー。
他に有名なところでは、”すべての桁の数をすべて足した数(総和)が3で割り切れれば元の数も3で割りきれる"でしょう。
高校の数学の先生がこぼれ話で話してくれることも多いようです。
72859401の各桁の総数。つまり、7+2+8+1+9+4+5 は (7+2)+(8+1)+(5+4)+9 = 9×4 = 3×3×4 なので3で割りきれますよね。
だから72859401も3で割りきれます!!!

ついでに、”すべての桁の数の総和が9で割り切れれば元の数も9で割りきれる"
72859401の各桁の総数。つまり、7+2+8+1+9+4+5 は 9×4 なので、72859401は9で割り切れます。


そしてわかっている方はわかっていると思いますが、72819405と72859401は数字の1と5を入れ替えただけです。
両方とも3と9で割れますが、5では片方でしか割り切れません。。。。。

これを知っておくことで、大きな数の割り算が簡単になり、因数分解の解が直感的にわかり、たとえば図形問題でも計算が楽になることでしょう。
そして、modとはこの倍数方法を調べる(証明する)ために必要な数学知識です。
しかし残念ながら、高校までの数学ではmodを教えてはいけないことになってます。残念。
今回で覚えて、自分流に役立ててください。

倍数の判定方法

まずは素数13までの倍数となる条件一覧を書きましょう。下記の条件を満たすとき、その数で割り切れます。
注:倍数とはその数で割り切れる数のことです。また0は全ての数の倍数とします。

  • "1"はすべての数を割り切れる(常識)
  • "2"は"一桁目が偶数であること(2の倍数)"
  • "3"は"すべての桁の総和が3の倍数(3で割り切れる)"
  • "4"は2で二回割れること。または"下二桁が4の倍数"
  • "5"は"一桁目が5、または0であること"。
  • "6"は2,3で割れること。すなわち、"すべての桁の総和が3の倍数、かつ一桁目が偶数"
  • "7"は"一桁目から三桁ずつ区切って交互に足し引きしたとき最後に7の倍数になること"、または"一桁目から、2倍した数を残りの数から引くことを繰り返したとき最後に残った数が7の倍数になること"(複雑なので後で説明します。)
  • "8"は2で三回割れること。または"下三桁が8の倍数。"(ただし三桁目が偶数なら、”下二桁が8の倍数”でもよい)
  • "9"は”すべての桁の数の総和が9の倍数"
  • "10"は"一桁目が0であること"
  • "11"は、"一桁目から、二桁ずつ区切り,その総和が11の倍数"、または"奇数桁の総数から偶数桁の総数を引いた数が11の倍数"
  • "12"は4,3で割れること。すなわち"すべての桁の総和が3の倍数、かつ下二桁が4の倍数"
  • "13"は7と似ていて、"一桁目から三桁ずつ区切って交互に足し引きしたとき最後に13の倍数になること"、または、"一桁目から、4倍した数を残りの数から足すことを繰り返したとき最後に残った数が13の倍数になること"

となります。
覚えやすいものは覚えておいて損はないでしょう。
また記事最後に、複雑な条件をより速く判別する方法を紹介します。

わかりにくい7,11,13の倍数条件について

条件がわかりにくい7,11,13について話しときましょう。
例えば、7250243という数字を考えます。

7で割れるか?

7の条件は2種類。

  • 条件1:"一桁目から三桁ずつ区切って交互に足し引きしたとき最後に7の倍数になること"

これは、桁数が多いときに便利です。
使い方は、
7250243を一桁目から三桁ずつ区切ります。
=> 7 と 250 と 243
これを交互に足し引きします。
=> 7 - 250 + 243 = 0
0は7の倍数のため、7250243は7で割りきれます。
(注:適当に数を選んだので、0になりましたが、14になっても、21になっても7の倍数である限り割り切れます。)

  • 条件2:"一桁目から、2倍した数を残りの数から引くことを繰り返したとき最後に残った数が7の倍数になること"

これは、桁数が少ないとき便利です。
使い方は、
7250243の一桁目(3)を二倍し残りの数(725024)から引きます。
725024 - 3×2 = 725018
その結果の一桁目(8)を二倍し、残りの数(72501)から引きます。
72501-8×2 = 72485
これを繰り返します。
7248 - 5×2 = 7238
723 - 8×2 = 707
この時点で707=101×7とみてわかるため、7250243は7で割りきれるとわかります。

条件2は2~3桁ぐらいでやるのがベストです。その場合、一桁目を二倍して残りの数から引くだけで済みますよね。たとえば273という数で考えましょう。
273 => 27 - 3×2 = 21 = 7×3 なので273が7で割り切れることがすぐわかります。

繰り下がり引き算を頭の中でやるのが苦手な方は、一桁目にマイナス値を導入すればときやすくなるかも?
(へーっとでも思ってください。)
7250243
725024 - 3×2 = 725020 - 2 (繰り下がりは計算せずに一桁目は-2と考えます。)
72502 - (-2)×2 = 72506 (-4を引くので+4になります。)
7250 - 6×2 = 7240 - 2  
724 - (-2)×2 = 728
72 - 8×2 = 56
56は、7で割り切れます。よって7250243は7で割りきれるとわかります。


13で割れるか?

7と条件がほぼ一緒なので、11を飛ばして確認してみましょう。

  • 条件1:"一桁目から三桁ずつ区切って交互に足し引きしたとき最後に13の倍数になること"

7250243を一桁目から三桁ずつ区切ります。
=> 7 と 250 と 243
これを交互に足し引きします。
=> 7 - 250 + 243 = 0
0になったので13で割り切れます。
(注:適当に数を選んだので、0になりましたが、26になっても、39になっても13の倍数である限り割り切れます。)

  • 条件2:"一桁目から、四倍した数を残りの数から足すことを繰り返したとき最後に残った数が13の倍数になること"注:7と違い”引く”ではなく”足す”です。

7250243
725024 + 3×4 = 725036
72503 + 6×4 = 72527
7252 + 7×4 = 7280
728 + 0×4 = 728
72 + 8×4 = 104
10 + 4×4 = 26
26 = 13×2 です。よって7250243は13で割りきれるとわかります。

11で割れるか?

11の条件は
条件1 "二桁ずつ区切り,その総和が11の倍数"
やってみましょう。
7250243を一桁目から二桁ずつ区切ります。
=> 7 と 25 と 02 と 43
これの総和です。
=> 7 + 25 + 2 + 43 = 77
77は11の倍数ですので、11で割り切れます。


条件2 "奇数桁の総数から偶数桁の総数を引いた数が11の倍数"
やってみましょう。
7250243は、7,5,2,3と2,0,4に分かれます。
(7+5+2+3) - (2+0+4) = 11
11の倍数ですので、7250243は11で割り切れます。
奇数偶数と考えずに、”交互に足し引きしたとき11の倍数”と考えてもいいです。
7-2+5-0+2-4+3 = 11 ですね。

どうでしょう。7だろうが11だろうが因数分解(または割り算)できそうでしょうか。
ぱっと見たときに、もっと早く察したいという方はより速くとくための考え方を、mod紹介後に書きたいと思います。

合同式(mod)とは何か

さて本題です。大学では合同式(mod)という概念を習います。
おそらく塾とかでは教えているはずですが。
合同式(mod)とは!!
”ある数X”と"ある数Y"を"ある数Z"で割った時の余りが同じの時、XとYを合同とみなすという考え方のことである!!!!
式は X ≡ Y (mod Z)
※≡は合同と読みます。

それだけかよ:mod

あー、帰らないで―。
いや、これが非常に重要なんです。
ちょっとYがZより小さいときを考えてみましょう。それはつまり、X÷Zの余りがYだということです。
そしてX÷Zの余りがYということは、Yが0の時ZでXが割り切れることがわかるのです!!!
こういうと、割り算や多項式に悩んでいる中高生の方々はすごい!と思っていただけるのではないでしょうか。
2015年には合同式を高校生みんな知っているらしい。。。ドヤ顔したのに。。。恥ずかしい。。。

合同式は以下の性質があります。
ある数 Z に対して
a≡b (mod Z),c≡d (mod Z)のとき,
1:a+c≡b+d (mod Z)
2:a−c≡b−d (mod Z)
3:ac≡bd (mod Z) <= 特に,ac≡bc (mod Z)を使います。判別法でも使うよ!
4:ab≡ac で, a と Z が互いに素( 1 と −1 以外に公約数を持たない)なら b≡c (mod Z)

また、
a≡b で,f(a) を整数多項式のとき,
5: a^x ≡ b^x (mod Z)
6:f(a)≡f(b) (mod Z)
=>この5,6が強力だってことは次回やろうかなーと思います。
2015年には高校生は5,6もやるらしい。新指導要綱すっげーな。まぁネタ切れなんでたぶん書く。

ここまでわかるとすごいことがわかります。
ある数の倍数判定の条件がわかるのです!!!
すっげーよね。

倍数判定法の条件

なぜその条件なのかをピックアップしていきましょう。(残りの数はみんな自分で計算だ!)
この中では堂々と合同式を書いていきます。のでもう一回いっときますね。
     ”ある数X”と"ある数Y"を"ある数Z"で割った時の余りが同じの時、XとYを合同とみなす
     式は X ≡ Y (mod Z)

なぜ2,4,8は下1,2,3桁が倍数であればいいのか

10 ≡ 0 (mod 2)です。ある数xを二桁から上のyと一桁目のzに分けるとx = y×10 + zと表せますが、
y×10 ≡ 0 (mod 2) 、z ≡ 0 (mod 2) とすると、
x ≡ 0 (mod 2) となります。 <=1.a≡b (mod Z),c≡d (mod Z)のとき,a+c≡b+d (mod Z)のため
よってxは割り切れるので、一桁目zが2で割り切れるかどうかが条件となることがわかります。

同じく、100 ≡ 0 (mod 4) , 1000 ≡ 0 (mod 8)のため各自、下二桁、下三桁が割り切れるなら割り切れることになります。
また、200 ≡ 0 (mod 8)であり、三桁目が偶数、一,二桁目が0の数x は x ≡ 0 (mod 200)のため、
三桁目が偶数の数は下二桁が8で割れるかどうかが条件になります。

なぜ3,9は各桁の総数を調べればいいか。

10≡1 (mod 3)& 10≡1 (mod 9)
ですよね。ってことは、
10^n ≡ 1^n ≡ 1
ですよね。(mod省略)
ところで、abcdeと表せる五ケタの数があったとして、その五ケタの数字を足し算にすると
a×10^4 + b×10^3 + c×10^2 + d×10^1 + e
とも表せますよね。
ですので
a×10^4 + b×10^3 + c×10^2 + d×10^1 + e ≡ a×1 + b×1 + c×1 + d×1 + e ≡ a + b + c + d +e (mod3) (mod9でも同じ)
ですよね。
なので、結局各桁数の数字を足した数が割り切れればOKってことになります。
びっくり

なぜ7,13はあのような条件なのか。

条件1
3,9の条件がわかれば問題ありません。
1000 ≡ -1 (mod 7) , 1000 ≡ 1 (mod 13)
だからです。
一つ三桁の数a,b,cがあったとしたら abcであらわせる9桁の数は、
a×10^3×10^3 + b×10^3 + cと表せます。
ですので (mod 7)は
a×10^3×10^3 + b×10^3 + c ≡ a×(-1)^2 + b×(-1)+cとなります。
なので三桁づつ+1と-1を掛けて全部足してやればOKとなります。
(mod 13)も
a×10^3×10^3 + b×10^3 + c ≡ a×1^2 + b×1+cとなりますので、三桁づつの総和です。

条件2
ある数A,Cと一桁の数Bについて、すべての有理数は10A+Bとあらわせます。
10A+B≡0 (mod 7)とすると10A+Bは7の倍数となります、両辺2を掛けると
20A+2B≡0(mod 7)
ここで、21 ≡ 0 (mod 7)より 20 ≡ -1 (mod 7) なので

  • A+2B≡0(mod 7)とできるため、両辺-1欠けて

A-2B≡0(mod 7)
です。
ですので、一桁目を2倍して残りの数から引いたとき7の倍数という条件になります。
同様に
39 ≡ 0 (mod 13)より 40 ≡ 1 (mod 13) なので
10A+B≡40A+4B≡-A+4B(mod 13)
となり、A-4B ≡ 0 (mod 13)とすれば10A+Bが13の倍数となります。
ですので、一桁目を4倍して残りの数から引いたとき7の倍数という条件になります。

なぜ11はあのような条件なのか。

条件1
100≡1 (mod 11)ですので、7,13の時と同じく
一つ二桁の数a,b,cがあったとしたら abcであらわせる6桁の数は、
a×10^2×10^2 + b×10^2 + cと表せます。
a×10^2×10^2 + b×10^2 + c ≡ a×1 + b×1 + c ≡ a + b + c(mod 11)となりますね。
ですので各桁の総数が11の倍数であることが条件となります。

条件2
10≡-1 (mod 11)なので,abcdeと表せる五ケタの数があったとして、
a×10^4 + b×10^3 + c×10^2 + d×10^1 + e ≡ a×(-1)^4 + b×(-1)^3 + c×(-1)^2 + d×(-1) + e (mod 11)
となるため、交互に足し引きした数が11の倍数であることが条件となります。


以上。すごい駆け足ですがいかがでしょうか。
自分でこのようにといていけば、いくらでも倍数条件が出せるようになります。
(まぁ、正直にいえば実用的なのは13までですが)
たとえば、17の倍数は6桁までは最初の3桁-次の3桁×3が17の倍数のときとできなくもないです。

より実用的に使うには。

ここまで読まれた方。お疲れ様でした。
最後に、みなさんこう思われていませんか。
(2とか3とかならともかく、7,11,13は)

必要なくね?:mod

とんでもない!
せっかく合同式を覚え、modを使ったのです。限界まで使うことにより素早くときましょうよ!!


ということで実践的な使い方を一つ。
適当に作った数字 1827407809271075でやりましょう。

  • 11で割ると余りはいくらか

ポイントは、合同式の中では11以上の数字はすべて11の余りになってしまうことです。
また、余りがマイナスでも許されることにも着目します。
なので、2桁づつ区切るときに18,27,40,78,09,27,10,75と考えずに
18 -> 7, 27 -> 5, 40 -> -4, 78 -> 1, 09 -> -2, 27 -> 5, 10 -> -1, 75 -> -2
と考えてしまえば、
7+5-4+1-2+5-1-2とできます。
これは簡単でしょう。9ですね。よって余りは9です。
と解けてしまいます。

  • 9で割ると余りはいくらか

足した際に9以上であれば9の余りになります。
よって、1827407809271075を足す際に"足して9になる2つの数や9"は0になるため容赦なく無視しましょう。
残ったのは4,7,7,5だけですね。
さらに、7≡-2(mod 9)なので、4+7+7+5 ≡ 4-4+5ですよね。つまり余り5ですよね!

ということで、非常に使える知識となっております。
ぜひ活用していただければと思います。

注:まだ学校で習ってない場合は式に書くと減点される場合があるので注意。くれぐれも暗算や検算に使おう。(証明と説明を書いたらありかもしれないけど)



何か記述ミスがあればコメントにてご教授いただければ幸いです。


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